Сколько мастеров спорта будет выбрано из группы из 10 спортсменов, если отбирают 3 спортсмена? Каково математическое ожидание числа мастеров спорта среди отобранных спортсменов?
Ответ:
Для начала, определим сколько комбинаций можно составить из 10 спортсменов, выбирая 3 из них. Для этого мы используем формулу сочетаний:
C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
Где n — общее количество элементов (в данном случае спортсменов), k — количество элементов, которые мы выбираем (в данном случае 3).
Применяя формулу, получаем:
C(10, 3) = 10! / (3!(10-3)!) = 120
Таким образом, мы можем составить 120 комбинаций, выбирая 3 спортсмена из группы из 10 спортсменов.
Теперь рассмотрим вторую часть задачи — математическое ожидание числа мастеров спорта среди отобранных спортсменов. Для этого нам нужно знать вероятности того, что каждый спортсмен является мастером спорта.
Предположим, что вероятность того, что каждый спортсмен является мастером спорта, одинакова и равна p. Тогда вероятность того, что из трех отобранных спортсменов все будут мастерами, будет p^3. Также есть вероятность того, что будут выбраны два мастера спорта и один не мастер спорта, она равна p^2 * (1-p). И так далее, пока не учтем все возможные комбинации.
Теперь мы должны найти математическое ожидание, которое определяется следующим образом:
E(X) = sum(x*p(x))
Где x — количество мастеров спорта, p(x) — вероятность того, что будет выбрано x мастеров спорта.
В нашем случае:
E(X) = 0*p(0) + 1*p(1) + 2*p(2) + 3*p(3)
Мы знаем, что сумма всех вероятностей должна равняться 1, поэтому:
p(0) + p(1) + p(2) + p(3) = 1
Так как у нас все вероятности равны (p), мы можем заменить это уравнение:
4p = 1
Отсюда: p = 1/4
Теперь мы можем вычислить математическое ожидание:
E(X) = 0*(1/4) + 1*(1/4) + 2*(1/4) + 3*(1/4)
E(X) = 0 + 1/4 + 1/2 + 3/4
E(X) = 1.5
Итак, математическое ожидание числа мастеров спорта среди отобранных спортсменов составляет 1.5