Какое значение x соответствует точке максимума функции y=x^3+17,5x^2+50x+18?
Ответ:
1. Сначала найдем первую производную функции. Для этого возьмем производную от каждого слагаемого и сложим их:
y’ = (3x^2 + 35x + 50)
2. Затем приравняем полученную производную к нулю, чтобы найти точки, где производная равна нулю:
3x^2 + 35x + 50 = 0
3. Решим это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение:
x = (-b ± √(b^2 — 4ac)) / 2a, где a = 3, b = 35, c = 50
Вычислим дискриминант (b^2 — 4ac):
D = 35^2 — 4(3)(50) = 1225 — 600 = 625
Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня:
x1 = (-35 + √625) / (2 * 3) = (-35 + 25) / 6 = -10/6 = -5/3
x2 = (-35 — √625) / (2 * 3) = (-35 — 25) / 6 = -60/6 = -10
Таким образом, уравнение имеет две точки экстремума: x = -5/3 и x = -10.
4. Чтобы определить, какая из найденных точек является максимумом функции, мы должны проанализировать вторую производную.
5. Найдем вторую производную функции, снова возьмем производную от каждого слагаемого и сложим их:
y» = (6x + 35)
6. Подставим найденные значения для x во вторую производную и вычислим значения для x = -5/3 и x = -10:
y»(-5/3) = (6 * (-5/3) + 35) = (-30/3 + 35) = (5 + 35) = 40
y»(-10) = (6 * (-10) + 35) = (-60 + 35) = (-25)
7. Если вторая производная положительна (y» > 0), это указывает на то, что точка является точкой минимума. Если вторая производная отрицательна (y» < 0), это указывает на то, что точка является точкой максимума.
8. В нашем случае, y''(-5/3) = 40, что больше нуля, и y''(-10) = -25, что меньше нуля. Значит, точка x = -5/3 является точкой минимума, а точка x = -10 является точкой максимума.
Таким образом, значение x, соответствующее точке максимума функции y = x^3 + 17.5x^2 + 50x + 18, равно -10.