2. На координатной плоскости отметьте точки A(-6; -3), B(-2; 3), C(1; 6), D(9; -3), E(6; 7). а) Каковы координаты точки пересечения отрезка AB с осью абсцисс? б) Каковы координаты точки пересечения отрезков BE и CD? в) Каковы координаты точки пересечения отрезка CD и прямой AB? г) Каковы координаты точки пересечения отрезка с осью ординат?
2. На координатной плоскости отметьте точки M(6; 6), N(-4; 2), K(4; 1) и P(-3; 8). 1) Проведите прямые MN и KP. Каковы координаты точки их пересечения? 2) Каковы координаты точки
Ответ:
1. Определяем уравнение прямой, проходящей через точки A и B:
Для этого используем формулу: y = kx + b, где k — угловой коэффициент, b — свободный член.
Найдем угловой коэффициент: k = (y2 — y1) / (x2 — x1) = (3 — (-3)) / (-2 — (-6)) = 6 / 4 = 1.5
Теперь находим свободный член, подставив одну из точек в уравнение: -3 = 1.5 * (-6) + b
Получаем: -3 = -9 + b => b = 6.
Уравнение прямой: y = 1.5x + 6.
2. Чтобы найти точку пересечения с осью абсцисс, подставим y = 0 в уравнение прямой:
0 = 1.5x + 6.
Решаем уравнение относительно x:
1.5x = -6 => x = -6 / 1.5 = -4.
Точка пересечения отрезка AB с осью абсцисс имеет координаты (-4, 0).
б) Чтобы найти точку пересечения отрезков BE и CD, нужно определить уравнения этих отрезков, а затем найти их точку пересечения.
1. Уравнение отрезка BE может быть определено из уравнения прямой, проходящей через точки B и E:
y = kx + b.
Найдем угловой коэффициент: k = (y2 — y1) / (x2 — x1) = (7 — 3) / (6 — (-2)) = 4 / 8 = 0.5.
Теперь находим свободный член, подставив одну из точек в уравнение: 3 = 0.5 * (-2) + b
Получаем: 3 = -1 + b => b = 4.
Уравнение отрезка BE: y = 0.5x + 4.
2. Уравнение отрезка CD может быть определено из уравнения прямой, проходящей через точки C и D:
y = kx + b.
Найдем угловой коэффициент: k = (y2 — y1) / (x2 — x1) = (-3 — 6) / (9 — 1) = -9 / 8 = -1.125.
Теперь находим свободный член, подставив одну из точек в уравнение: -3 = -1.125 * 9 + b
Получаем: -3 = -10.125 + b => b = 7.125.
Уравнение отрезка CD: y = -1.125x + 7.125.
3. Для нахождения точки пересечения отрезков BE и CD, решим систему уравнений:
y = 0.5x + 4,
y = -1.125x + 7.125.
Подставим во второе уравнение выражение для y из первого уравнения:
0.5x + 4 = -1.125x + 7.125.
Решаем уравнение относительно x:
1.625x = 3.125 => x = 3.125 / 1.625 = 1.92 (округляем до двух знаков после запятой).
Теперь подставим найденное значение x в первое уравнение:
y = 0.5 * 1.92 + 4 = 0.96 + 4 = 4.96 (округляем до двух знаков после запятой).
Точка пересечения отрезков BE и CD имеет координаты (1.92, 4.96).
в) Чтобы найти точку пересечения отрезка CD и прямой AB, нужно определить уравнения этих отрезка и прямой, а затем найти их точку пересечения.
1. Уравнение отрезка CD: y = -1.125x + 7.125 (определено в пункте б).
2. Уравнение прямой AB: y = 1.5x + 6 (определено в пункте а).
3. Для нахождения точки пересечения решим систему уравнений:
y = -1.125x + 7.125,
y = 1.5x + 6.
Подставим во второе уравнение выражение для y из первого уравнения:
-1.125x + 7.125 = 1.5x + 6.
Решаем уравнение относительно x:
2.625x = 1.125 => x = 1.125 / 2.625 = 0.43 (округляем до двух знаков после запятой).
Теперь подставим найденное значение x в первое уравнение:
y = -1.125 * 0.43 + 7.125 = -0.483 + 7.125 = 6.642 (округляем до двух знаков после запятой).
Точка пересечения отрезка CD и прямой AB имеет координаты (0.43, 6.642).
г) Для нахождения точки пересечения отрезка с осью ординат нужно определить x-координату этой точки, а также учесть, что эта точка должна лежать на прямой, проходящей через две заданные точки.
1. Уравнение прямой AB: y = 1.5x + 6 (определено в пункте а).
2. Чтобы найти точку пересечения с осью ординат, подставим x = 0 в уравнение прямой:
y = 1.5 * 0 + 6 = 6.
Точка пересечения отрезка AB с осью ординат имеет координаты (0, 6).
Таким образом, получены точки пересечения отрезков и прямых с осью абсцисс, другими отрезками и прямыми, а также с осью ординат.