Какова длина большей стороны прямоугольника АВСД, если его периметр составляет 96 см и биссектриса углов АиД пересекает его на стороне ВС в точке Е?
Ответ:
Пусть длины сторон прямоугольника АВСД равны АВ = а, ВС = b, СD = с, ДА = d.
Таким образом, а + b + c + d = 96.
Биссектриса углов АиД пересекает сторону ВС в точке Е. Значит, точка E делит сторону ВС на две равные части.
Поскольку ВС = b, то EB = EC = b/2.
Также из свойств биссектрисы известно, что отрезок EB делит угол А на два равных угла. То есть угол АЕВ равен углу АЕС.
Можно построить прямоугольный треугольник АЕС, в котором угол АЕС равен половине угла А.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АЕС с гипотенузой АС и катетами АЕ и ЕС, верно следующее:
АС^2 = АЕ^2 + ЕС^2.
Найдем длину стороны АС:
АС = √(АЕ^2 + ЕС^2).
Так как EB = EC = b/2, то ЕВ = b/2 и VC = b/2.
Из прямоугольника АВСД также следует, что АВ = СD = d и BD = AC = a.
Таким образом, a = d и b = c.
Подставим это в уравнение суммы сторон прямоугольника:
a + b + c + d = 96.
a + a + b + b = 96.
2a + 2b = 96.
Упростим уравнение, разделив обе части на 2:
a + b = 48.
Таким образом, a + b = 48.
Разделим это уравнение на 2:
a/2 + b/2 = 24.
Теперь мы знаем, что a/2 + b/2 = 24 и EB = EC = b/2.
Подставляя значения, получаем:
АС = √(АЕ^2 + ЕС^2) = √((a/2)^2 + (b/2)^2) = √((a^2/4) + (b^2/4)) = √((a^2 + b^2)/4).
Учитывая, что a + b = 48, можем записать:
АС = √(((48-b)^2 + b^2)/4)
= √((2304 — 96b + b^2 + b^2)/4)
= √((2b^2 — 96b + 2304)/4)
= √(2(b^2 — 48b + 1152)/4)
= √((b^2 — 48b + 1152)/2)
= √((b — 24)^2)/√(2)
= (b — 24)/√(2).
Таким образом, длина большей стороны прямоугольника АВСД равна (b — 24)/√(2).