Какие утверждения верны? 1) Меньше 12 учащихся ходят и в театральную студию, и посещают фотокружок? 2) Существует 15

Какие утверждения верны? 1) Меньше 12 учащихся ходят и в театральную студию, и посещают фотокружок? 2) Существует 15 учащихся, которые посещают как фотокружок, так и театральную студию? 3) Существует 3 учащихся, которые не ходят ни в театральную студию, ни посещают фотокружок? 4) Каждый учащийся, посещающий фотокружок, также ходит в театральную студию?

Ответ:

Для решения данной задачи, нам пригодятся операции над множествами. Будем обозначать множество учащихся, которые ходят в театральную студию как «Т», множество учащихся, которые посещают фотокружок как «Ф».

Нам дано 4 утверждения, рассмотрим каждое из них по очереди:

1) Меньше 12 учащихся ходят и в театральную студию, и посещают фотокружок.
Это утверждение верно, так как мы знаем, что общее число учащихся (выбирающих хотя бы одно из двух занятий) не превышает 12. Предположим, что существует больше 12 учащихся, которые выбрали оба занятия. Если мы возьмем этих 12 учащихся и добавим их в множества «Т» и «Ф», то общее число учащихся будет больше 12, что противоречит условию задачи. Таким образом, меньше 12 учащихся ходят и в театральную студию, и посещают фотокружок.

2) Существует 15 учащихся, которые посещают как фотокружок, так и театральную студию.
Это утверждение неверно, так как мы знаем, что общее число учащихся (выбирающих хотя бы одно из двух занятий) не превышает 12. Так как количество учащихся, которые посещают и театральную студию, и фотокружок не может быть больше общего числа учащихся, это означает, что не существует 15 учащихся, которые посещают оба этих занятия.

3) Существует 3 учащихся, которые не ходят ни в театральную студию, ни посещают фотокружок.
Это утверждение верно. Предположим, что все учащиеся ходят в театральную студию или посещают фотокружок. Тогда, количество учащихся будет равно сумме количества учащихся, ходящих в театральную студию и посещающих фотокружок. Но так как нам дано, что общее число учащихся не превышает 12, то все учащиеся не могут ходить в оба занятия одновременно. Следовательно, должны существовать учащиеся, которые не ходят ни в театральную студию, ни посещают фотокружок.

4) Каждый учащийся, посещающий фотокружок, также ходит в театральную студию.
Это утверждение неверно, так как из условия задачи нам не известно, что каждый учащийся, посещающий фотокружок, также ходит в театральную студию. Учащийся может выбрать только одно из двух занятий или не выбрать ни одного.

Таким образом:
1) Верно
2) Неверно
3) Верно
4) Неверно