Сколько слагаемых останется после раскрытия скобок и объединения подобных слагаемых в выражении ( 1 + x 2 + x 4 + … + x 30 ) 2 + ( 1 + x 3 + x 6 + … + x 30 ) 2 ?
Ответ:
1. Начнем с первого скобочного выражения (1 + x^2 + x^4 + … + x^30)^2:
Раскроем скобки с помощью формулы (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
В данном случае, a = (1 + x^2 + x^4 + … + x^30), а b = 1.
Таким образом, получим:
(1 + x^2 + x^4 + … + x^30)^2 = (1)^2 + 2*(1)(x^2 + x^4 + … + x^30) + (x^2 + x^4 + … + x^30)^2
2. Теперь рассмотрим второе скобочное выражение (1 + x^3 + x^6 + … + x^30)^2:
Аналогично, раскроем скобки, используя формулу (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
В данном случае, a = (1 + x^3 + x^6 + … + x^30), а b = 1.
Получим:
(1 + x^3 + x^6 + … + x^30)^2 = (1)^2 + 2*(1)(x^3 + x^6 + … + x^30) + (x^3 + x^6 + … + x^30)^2
3. Теперь объединим полученные выражения:
(1 + x^2 + x^4 + … + x^30)^2 + (1 + x^3 + x^6 + … + x^30)^2
= (1)^2 + 2*(1)(x^2 + x^4 + … + x^30) + (x^2 + x^4 + … + x^30)^2 + (1)^2 + 2*(1)(x^3 + x^6 + … + x^30) + (x^3 + x^6 + … + x^30)^2
4. Упростим полученное выражение:
(1)^2 + (1)^2 + 2*(1)*(x^2 + x^3 + x^4 + … + x^30) + (x^2 + x^4 + … + x^30)^2 + (x^3 + x^6 + … + x^30)^2
= 2 + 2*(x^2 + x^3 + x^4 + … + x^30) + (x^2 + x^4 + … + x^30)^2 + (x^3 + x^6 + … + x^30)^2
5. Заметим, что в полученном выражении присутствует (x^2 + x^4 + … + x^30)^2 и (x^3 + x^6 + … + x^30)^2,
то есть квадраты сумм четных степеней и нечетных степеней степеней переменной x.
Разложим каждое из этих квадратов на слагаемые:
(x^2 + x^4 + … + x^30)^2 = x^4 + 2*x^6 + 2*x^8 + … + 2*x^28 + x^30
(x^3 + x^6 + … + x^30)^2 = x^6 + 2*x^9 + 2*x^12 + … + 2*x^27 + x^30
Итак, получили:
2 + 2*(x^2 + x^3 + x^4 + … + x^30) + (x^4 + 2*x^6 + 2*x^8 + … + 2*x^28 + x^30) + (x^6 + 2*x^9 + 2*x^12 + … + 2*x^27 + x^30)
6. Теперь объединим подобные слагаемые:
2 + x^4 + x^6 + 2*x^8 + … + 2*x^28 + 2*x^30 + x^6 + 2*x^9 + 2*x^12 + … + 2*x^27 + x^30
7. Избавимся от повторяющихся слагаемых:
2 + x^4 + x^6 + 2*x^8 + … + 2*x^28 + 2*x^30 + 2*x^9 + 2*x^12 + … + 2*x^27
8. Подсчитаем количество слагаемых:
Мы видим, что в выражении присутствуют слагаемые с x в четной степени: x^4, x^6, x^8, …, x^30.
Очевидно, что количество этих слагаемых будет равно количеству четных чисел в промежутке от 4 до 30,
то есть (30-4)/2 + 1 = 14 слагаемых.
Также присутствуют слагаемые с x в нечетной степени: 2*x^9, 2*x^12, …, 2*x^27.
Количество этих слагаемых будет равно количеству четных чисел в промежутке от 9 до 27,
то есть (27-9)/2 + 1 = 10 слагаемых.
Наконец, учитывая слагаемое 2, получаем общее количество слагаемых:
14 + 10 + 1 = 25 слагаемых.
Таким образом, после раскрытия скобок и объединения подобных слагаемых в выражении (1 + x^2 + x^4 + … + x^30)^2 + (1 + x^3 + x^6 + … + x^30)^2 останется 25 слагаемых.