Каков радиус окружности, которая соприкасается с гипотенузой прямоугольного треугольника и разделяет его на два отрезка с разностью 7 см и суммой 13 см?
Ответ:
Дано, что окружность соприкасается с гипотенузой треугольника. Поэтому, точка соприкосновения на гипотенузе будет делить её на две части, которые обозначим x и y.
Из условия задачи известно, что разность между этими отрезками составляет 7 см, а их сумма — 13 см.
Тогда можно записать следующие уравнения:
x — y = 7 (1)
x + y = 13 (2)
Чтобы найти значения x и y, решим эту систему уравнений методом сложения.
Сложим (1) и (2):
(x — y) + (x + y) = 7 + 13
2x = 20
x = 10
Подставим найденное значение x в уравнение (2):
10 + y = 13
y = 3
Теперь, обратимся к свойству касательных: радиус окружности, проведенный к точке касания, является перпендикуляром к касательной.
Таким образом, можно построить прямоугольник, в котором касательная окружности параллельна одной из сторон, а радиус окружности является другой стороной прямоугольника.
В нашей задаче, окружность касается гипотенузы, поэтому стороны прямоугольника будут равны x и y. Получается прямоугольник со сторонами 10 см и 3 см.
Осталось найти диагональ прямоугольника, которая будет равна диаметру окружности и радиусу. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения гипотенузы прямоугольника:
гипотенуза^2 = одна сторона^2 + другая сторона^2
R^2 = 10^2 + 3^2
R^2 = 109
R = √109
Итак, радиус окружности, которая соприкасается с гипотенузой прямоугольного треугольника и разделяет его на два отрезка с разностью 7 см и суммой 13 см, равен √109.