Какой путь пройдет материальная точка за временной интервал от t=0 до t=4, если скорость ее движения изменяется в соответствии с уравнением: υ=Rt+a√t?
Ответ:
Исходное уравнение для скорости выглядит следующим образом: υ=Rt+a√t.
Чтобы найти путь, пройденный за временной интервал от t=0 до t=4, нам нужно найти значение интеграла от t=0 до t=4 от выражения для скорости.
Интегрируем υ=Rt+a√t по времени от 0 до 4. Таким образом, путь S будет равен интегралу от υ по времени t, взятому на отрезке от 0 до 4:
S = ∫(0 to 4) (Rt+a√t) dt.
Чтобы проинтегрировать это выражение, мы разобьем его на два отдельных интеграла:
S = ∫(0 to 4) Rt dt + ∫(0 to 4) a√t dt.
Далее, используя правило интегрирования степенной функции и линейного интеграла, мы получаем следующие результаты:
S = R/2 * t^2 |(0 to 4) + 2/3 * a * t^(3/2) |(0 to 4).
Вычислим значения интеграла на каждом из отрезков:
Для первого слагаемого, где S = R/2 * t^2 |(0 to 4):
S = R/2 * (4^2 — 0^2) = R/2 * 16 = 8R.
Для второго слагаемого, где S = 2/3 * a * t^(3/2) |(0 to 4):
S = 2/3 * a * (4^(3/2) — 0^(3/2)) = 2/3 * a * (2^3 — 0) = 2/3 * a * 8 = 16/3 * a.
Итого, путь, пройденный материальной точкой за временной интервал от t=0 до t=4, равен сумме двух вычисленных значений:
S = 8R + 16/3 * a.
Таким образом, путь, пройденный материальной точкой за указанный временной интервал, равен 8R + 16/3 * a.