В прямоугольном треугольнике ABC (∠C=90 ∘) с известной длиной стороны AB равной 13 см, какова сумма длин сторон

Для решения задачи нам потребуется построить треугольник ABC и провести высоту BH из вершины B.

Поскольку треугольник ABC прямоугольный, то мы можем использовать теорему Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

В данном случае, гипотенуза AB равна 13 см. Пусть CA и CH будут катетами. Тогда получаем уравнение:

13^2 = CA^2 + CH^2

169 = CA^2 + CH^2

Мы можем рассмотреть треугольник CBH и применить теорему Пифагора к нему:

CH^2 + BH^2 = CB^2

Так как угол B равен прямому (90 градусов), то у нас есть два подобных прямоугольных треугольника — треугольник ABC и треугольник CBH. Значит, соотношение сторон в этих треугольниках должно быть одинаковым.

Мы уже знаем, что AB = 13, CA = x (чтобы обозначить неизвестное значение), и CH = y (также неизвестное значение).

Используя данную информацию, можем записать систему уравнений:

169 = x^2 + y^2 (уравнение для треугольника ABC)

y^2 + BH^2 = x^2 (уравнение для треугольника CBH)

Решим систему уравнений:

x^2 + y^2 = 169

y^2 + BH^2 = x^2

Заметим, что второе уравнение можно переписать в виде:

BH^2 = 169 — y^2

Теперь мы можем заменить BH в уравнении∣AB+CA+BH∣, используя найденные значения:

∣AB+CA+BH∣ = 13 + x + √(169 — y^2)

Таким образом, сумма длин сторон ∣AB+CA+BH∣ равна 13 + x + √(169 — y^2), где x и y — значения, которые нужно найти, решив систему уравнений.