Какова наименьшая длина отрезка А, при которой формула ¬(x∈ A)→((x∈ P) →¬( x∈Q)) будет истинной для всех значений переменной x на числовой прямой?
Ответ:
¬(x ∈ A) означает «x не принадлежит множеству A»
(x ∈ P) означает «x принадлежит множеству P»
¬(x ∈ Q) означает «x не принадлежит множеству Q»
В данной задаче нам нужно найти такое значение длины отрезка A, при котором формула будет истинной для всех значений переменной x.
Для этого нужно проанализировать каждую часть формулы.
1. Если x принадлежит множеству A, то это значит, что высказывание ¬(x ∈ A) будет ложным. Для того чтобы формула была истинной, мы хотим, чтобы это условие не выполнялось. То есть, мы хотим, чтобы x не принадлежал множеству A.
2. Далее у нас идет условие (x ∈ P) → ¬(x ∈ Q). Это означает, что если x принадлежит множеству P, то высказывание ¬(x ∈ Q) должно быть истинным. Или, другими словами, если x принадлежит множеству P, то мы хотим, чтобы x не принадлежал множеству Q.
Теперь, рассмотрим все возможные комбинации этих условий и найдем минимально возможную длину отрезка A.
1. Если мы возьмем A пустым множеством, то первое условие будет выполнено, так как никакое значение x не будет принадлежать множеству A. Остается проверить второе условие. Независимо от значения x, условие (x ∈ P) → ¬(x ∈ Q) всегда будет истинным, так как мы предположили, что x не принадлежит множеству Q. Таким образом, этот вариант удовлетворяет всем условиям, и длина отрезка A равна 0.
2. Теперь рассмотрим случай, когда A — полная числовая прямая. В этом случае первое условие не выполнено, так как любое значение x будет принадлежать множеству A. Однако, для второго условия мы можем подобрать значения P и Q так, чтобы оно было истинным. Например, если P и Q — пустые множества, то (x ∈ P) → ¬(x ∈ Q) будет всегда истинным, так как и принадлежность к P, и принадлежность к Q будет всегда ложными. Таким образом, этот вариант также удовлетворяет всем условиям.
Из этих двух вариантов видно, что минимально возможная длина отрезка A равна 0.