Каковы вероятность исследования не более четырех лампочек, при условии, что имеется четыре лампочки, каждая из которых

которых с вероятностью 0,2 имеет дефект? (4.1)

Для решения данной задачи мы воспользуемся биномиальным распределением, так как каждая лампочка может иметь только два возможных исхода: дефектная или исправная. Вероятность исправности каждой лампочки равна 0,2, поэтому вероятность дефектности каждой лампочки будет равна 0,8. Также нам дано, что исследуется не более четырех лампочек.

Чтобы найти вероятность исследования не более четырех лампочек, мы можем посчитать сумму вероятностей исследования каждого количества лампочек: 0, 1, 2, 3 и 4.

1. Найдем вероятность исследования 0 лампочек:
P(0 лампочек) = (вероятность дефектности первой лампочки) * (вероятность дефектности второй лампочки) * (вероятность дефектности третьей лампочки) * (вероятность дефектности четвертой лампочки)
P(0 лампочек) = 0,8 * 0,8 * 0,8 * 0,8 = 0,4096

2. Найдем вероятность исследования 1 лампочки:
P(1 лампочка) = (вероятность исправности первой лампочки) * (вероятность дефектности второй лампочки) * (вероятность дефектности третьей лампочки) * (вероятность дефектности четвертой лампочки) +
(вероятность дефектности первой лампочки) * (вероятность исправности второй лампочки) * (вероятность дефектности третьей лампочки) * (вероятность дефектности четвертой лампочки) +
(вероятность дефектности первой лампочки) * (вероятность дефектности второй лампочки) * (вероятность исправности третьей лампочки) * (вероятность дефектности четвертой лампочки) +
(вероятность дефектности первой лампочки) * (вероятность дефектности второй лампочки) * (вероятность дефектности третьей лампочки) * (вероятность исправности четвертой лампочки)
P(1 лампочка) = (0,2 * 0,8 * 0,8 * 0,8) + (0,8 * 0,2 * 0,8 * 0,8) + (0,8 * 0,8 * 0,2 * 0,8) + (0,8 * 0,8 * 0,8 * 0,2) = 0,8192

3. Найдем вероятность исследования 2 лампочек:
P(2 лампочки) = (вероятность исправности первой лампочки) * (вероятность исправности второй лампочки) * (вероятность дефектности третьей лампочки) * (вероятность дефектности четвертой лампочки) +
(вероятность дефектности первой лампочки) * (вероятность исправности второй лампочки) * (вероятность исправности третьей лампочки) * (вероятность дефектности четвертой лампочки) +
(вероятность дефектности первой лампочки) * (вероятность дефектности второй лампочки) * (вероятность исправности третьей лампочки) * (вероятность исправности четвертой лампочки) +
(вероятность исправности первой лампочки) * (вероятность дефектности второй лампочки) * (вероятность дефектности третьей лампочки) * (вероятность исправности четвертой лампочки)
P(2 лампочки) = (0,2 * 0,2 * 0,8 * 0,8) + (0,8 * 0,2 * 0,2 * 0,8) + (0,8 * 0,8 * 0,2 * 0,2) + (0,2 * 0,8 * 0,8 * 0,2) = 0,256

4. Найдем вероятность исследования 3 лампочек:
P(3 лампочки) = (вероятность исправности первой лампочки) * (вероятность исправности второй лампочки) * (вероятность исправности третьей лампочки) * (вероятность дефектности четвертой лампочки) +
(вероятность дефектности первой лампочки) * (вероятность исправности второй лампочки) * (вероятность исправности третьей лампочки) * (вероятность исправности четвертой лампочки) +
(вероятность исправности первой лампочки) * (вероятность дефектности второй лампочки) * (вероятность исправности третьей лампочки) * (вероятность исправности четвертой лампочки) +
(вероятность исправности первой лампочки) * (вероятность исправности второй лампочки) * (вероятность дефектности третьей лампочки) * (вероятность исправности четвертой лампочки)
P(3 лампочки) = (0,2 * 0,2 * 0,2 * 0,8) + (0,8 * 0,2 * 0,2 * 0,2) + (0,2 * 0,8 * 0,2 * 0,2) + (0,2 * 0,2 * 0,8 * 0,2) = 0,064

5. Найдем вероятность исследования 4 лампочек:
P(4 лампочки) = (вероятность исправности первой лампочки) * (вероятность исправности второй лампочки) * (вероятность исправности третьей лампочки) * (вероятность исправности четвертой лампочки)
P(4 лампочки) = 0,2 * 0,2 * 0,2 * 0,2 = 0,0016

Теперь, чтобы найти вероятность исследования не более 4 лампочек, мы просто сложим найденные вероятности:
P(исследования не более 4 лампочек) = P(0 лампочек) + P(1 лампочка) + P(2 лампочки) + P(3 лампочки) + P(4 лампочки)
P(исследования не более 4 лампочек) = 0,4096 + 0,8192 + 0,256 + 0,064 + 0,0016 = 1 более лампочек