Как выразить единичный вектор c0, перпендикулярный векторам a и b через векторы a и b? Важно, чтобы тройка (a, b, c0) была правая, и чтобы тройка (b, c0, a) была левая.
Ответ:
1. Найти векторное произведение векторов a и b. Векторное произведение обозначается символом a × b.
a × b = (a₂b₃ — a₃b₂, a₃b₁ — a₁b₃, a₁b₂ — a₂b₁)
2. Нормализовать найденный вектор. Для этого нужно разделить каждую компоненту вектора на длину этого вектора.
||c₀|| = √(c₀₁² + c₀₂² + c₀₃²) – это формула для нахождения длины вектора c₀.
c₀₁ = (a₂b₃ — a₃b₂) / ||c₀||
c₀₂ = (a₃b₁ — a₁b₃) / ||c₀||
c₀₃ = (a₁b₂ — a₂b₁) / ||c₀||
3. Проверить, что тройка (a, b, c₀) является правой. Это можно сделать, вычислив смешанное произведение векторов a, b и c₀. Смешанное произведение обозначается символом (a × b) ∙ c₀.
(a × b) ∙ c₀ = (a₃b₁ — a₁b₃)(c₀₁) + (a₁b₂ — a₂b₁)(c₀₂) + (a₂b₃ — a₃b₂)(c₀₃)
Если (a × b) ∙ c₀ = 0, то тройка (a, b, c₀) будет правой.
4. Также нужно проверить, что тройка (b, c₀, a) является левой. Для этого нужно вычислить смешанное произведение векторов b, c₀ и a. Смешанное произведение обозначается символом (b × c₀) ∙ a.
(b × c₀) ∙ a = (a₂b₃ — a₃b₂)(a₁) + (a₃b₁ — a₁b₃)(a₂) + (a₁b₂ — a₂b₁)(a₃)
Если (b × c₀) ∙ a = 0, то тройка (b, c₀, а) будет левой.
Таким образом, мы можем найти единичный вектор c₀, перпендикулярный векторам a и b, и убедиться, что тройка (a, b, c₀) является правой, а тройка (b, c₀, a) – левой.