Каков объем конуса с высотой 5 см и диагональю осевого сечения 13 см, если площади оснований усеченного конуса относятся как 1 : 4?
Ответ:
Пусть r1 — радиус большего основания, r2 — радиус меньшего основания.
По условию задачи, площади оснований относятся как 1 : 4.
Так как площадь основания конуса пропорциональна квадрату его радиуса, то
S1 : S2 = r1^2 : r2^2 = 1 : 4
Поскольку объем конуса V вычисляется по формуле V = (1/3) * S1 * h, где h — высота конуса, S1 — площадь основания, то нам нужно найти площадь большего основания S1.
Мы знаем, что периметр осевого сечения (круга) равен сумме длин образующих оснований конуса.
Периметр осевого сечения равен диагонали осевого сечения конуса, то есть 13 см.
Формула для периметра круга P = 2 * pi * r, где pi — математическая константа, примерно равная 3.14.
Так как у нас есть одна диагональ (2*r1) и половина другой диагонали (r2), можем записать следующее:
13 = 2*r1 + 1/2 * r2
Для удобства умножим обе части уравнения на 2:
26 = 4*r1 + r2
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
r1^2 : r2^2 = 1 : 4 (уравнение 1)
26 = 4*r1 + r2 (уравнение 2)
Теперь решим систему уравнений.
Из уравнения 2 выразим r2:
r2 = 26 — 4*r1
Подставим это выражение в уравнение 1:
r1^2 : (26 — 4*r1)^2 = 1 : 4
Упростим эту дробь:
4*r1^2 = (26 — 4*r1)^2
Раскроем скобки:
4*r1^2 = 26^2 — 2*26*4*r1 + (4*r1)^2
Распишем в квадрате (a-b)^2 = a^2 — 2ab + b^2:
4*r1^2 = 676 — 208*r1 + 16*r1^2
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
12*r1^2 + 208*r1 — 676 = 0
Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта.
Дискриминант D квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 — 4ac
В нашем случае:
D = 208^2 — 4*12*(-676) = 10816 — (-32544) = 43360
Так как D > 0, у нас есть два корня.
Формула для нахождения корней квадратного уравнения:
x1,2 = (-b ± √D) / (2a)
Подставим значения в формулу:
r1 = (-208 + √43360) / (2*12) ≈ 5.334 см
r1 = (-208 — √43360) / (2*12) ≈ -44.334 см
Так как радиус не может быть отрицательным, выберем положительный корень.
Теперь найдем r2:
r2 = 26 — 4*r1 ≈ 26 — 4*5.334 ≈ 4 см
Теперь у нас есть значения радиусов оснований r1 и r2. Используем их для нахождения площади S1 основания большего конуса.
S1 = pi * r1^2 = 3.14 * (5.334)^2 ≈ 89.2 см^2
Теперь мы можем найти объем V усеченного конуса:
V = (1/3) * S1 * h = (1/3) * 89.2 * 5 ≈ 148.67 см^3
Таким образом, объем усеченного конуса с высотой 5 см и диагональю осевого сечения 13 см, если площади оснований усеченного конуса относятся как 1 : 4, равен примерно 148.67 см^3.