1) Найдите восьмой член и сумму первых восьми членов арифметической прогрессии (а), если а = 1, аr = 4.
2) Найдите четвёртый член и сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (b,), если b = сиq = 3.
3) Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии — 64, 32, —16, … .
4) Найдите номер члена арифметической прогрессии (а), равного 3,6, если а = 2, 4 и d = 0, 2.
5) Какие два числа необходимо вставить между числами 8 и — 64, чтобы вместе с данными числами
Ответ:
Формула для нахождения любого члена арифметической прогрессии имеет вид:
aₙ = a + (n-1)d,
где aₙ — n-й член прогрессии,
a — первый член прогрессии,
d — разность прогрессии (смещение между членами прогрессии),
n — номер члена прогрессии, который мы хотим найти.
а = 1, аr = 4,
а₈ = a + (8-1)r = 1 + 7*4 = 1 + 28 = 29.
Таким образом, восьмой член равен 29.
Теперь найдем сумму первых восьми членов прогрессии. Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии выглядит так:
Sₙ = n/2 * (a + aₙ),
где Sₙ — сумма первых n членов прогрессии.
S₈ = 8/2 * (a + a₈) = 4 * (1 + 29) = 4 * 30 = 120.
Таким образом, сумма первых восьми членов прогрессии равна 120.
2) Для решения этой задачи, мы должны использовать формулы для геометрической прогрессии.
Формула для нахождения любого члена геометрической прогрессии имеет вид:
bₙ = b * q^(n-1),
где bₙ — n-й член прогрессии,
b — первый член прогрессии,
q — знаменатель прогрессии (отношение между членами прогрессии),
n — номер члена прогрессии, который мы хотим найти.
b = c * q = 3 * 3 = 9,
b₄ = b * q^(4-1) = 9 * 3^(4-1) = 9 * 3^3 = 9 * 27 = 243.
Таким образом, четвёртый член равен 243.
Теперь найдем сумму первых пяти членов прогрессии. Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии выглядит так:
Sₙ = b * (q^n — 1) / (q — 1),
где Sₙ — сумма первых n членов прогрессии.
S₅ = 9 * (3^5 — 1) / (3 — 1) = 9 * (243 — 1) / 2 = 9 * 242 / 2 = 1098.
Таким образом, сумма первых пяти членов прогрессии равна 1098.
3) Для решения этой задачи, мы должны использовать формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии.
Если модуль отношения q между членами прогрессии меньше 1 (|q| < 1), то сумма бесконечной геометрической прогрессии выражается следующей формулой:
S = a / (1 — q),
где S — сумма бесконечной прогрессии,
a — первый член прогрессии,
q — знаменатель прогрессии (отношение между членами прогрессии).
В данном случае, первый член прогрессии a = 64, знаменатель прогрессии q = -2.
S = 64 / (1 — (-2)) = 64 / (1 + 2) = 64 / 3 = 21.33 (округляем до двух знаков после запятой).
Таким образом, сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 21.33.
4) Для решения этой задачи, мы должны использовать формулу для нахождения номера члена арифметической прогрессии.
Формула для нахождения номера n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:
n = (aₙ — a) / d + 1,
где n — номер члена прогрессии,
aₙ — n-й член прогрессии,
a — первый член прогрессии,
d — разность прогрессии (смещение между членами прогрессии).
a = 2, aₙ = 3.6, d = 0.2.
n = (3.6 — 2) / 0.2 + 1 = 1.6 / 0.2 + 1 = 8 + 1 = 9.
Таким образом, номер члена равного 3.6 равен 9.
5) Чтобы найти два неизвестных числа, которые необходимо вставить между числами 8 и 20, мы должны понять, какая прогрессия используется.
В данном случае, можно заметить, что разница между 8 и 20 равна 12. Поэтому можно предположить, что используется арифметическая прогрессия.
Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:
aₙ = a + (n-1)d,
где aₙ — n-й член прогрессии,
a — первый член прогрессии,
d — разность прогрессии (смещение между членами прогрессии),
n — номер члена прогрессии.
Мы ищем два числа, которые должны быть между 8 и 20. Значит, номер первого из этих чисел будет 2, а номер второго числа будет 3.
Таким образом, первое число будет:
a₂ = 8 + (2-1) * d,
a₂ = 8 + d.
Второе число будет:
a₃ = 8 + (3-1) * d,
a₃ = 8 + 2d.
Окончательно, два числа, которые необходимо вставить между числами 8 и 20, будут (8 + d) и (8 + 2d).