Найдите значения координат (a;b) вектора e¯1 в базисе (e¯∗1;e¯∗2), если дана матрица A=(2,−1; 1,2) перехода от базиса (e¯1;e¯2) к базису (e¯1;e¯2). Выберите один ответ: a=0,4;b=−0,2 a=−0,7;b=0,1 a=0,5;b=0,6 a=0,3;b=−0,6
Ответ:
Пусть (a’;b’) — координаты вектора e¯1 в базисе (e¯∗1;e¯∗2). Тогда:
a’ = 2 * a + (-1) * b
b’ = 1 * a + 2 * b
Используя матрицу перехода A=(2,−1; 1,2), подставляем значения координат в уравнения:
a’ = 2 * a + (-1) * b = 2a — b
b’ = 1 * a + 2 * b = a + 2b
Отсюда получаем систему уравнений:
2a — b = a’
a + 2b = b’
Решим систему уравнений:
2a — b = a’
a + 2b = b’
Первое уравнение можно переписать в виде:
2a — b — a’ = 0
Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду при помощи элементарных преобразований:
[2 -1 -a’]
[1 2 b’]
Домножим первую строку на 1/2:
[1 -1/2 -a’/2]
[1 2 b’]
Вычтем из второй строки первую, умноженную на 1:
[1 -1/2 -a’/2]
[0 5/2 (b’+a’/2)]
Теперь домножим вторую строку на 2/5:
[1 -1/2 -a’/2]
[0 1 (2/5)*(b’+a’/2)]
Выразим a’ через b’:
-1/2 * (2/5)*(b’+a’/2) — a’/2 = 0
Упростим выражение:
-1/5 * (b’+a’/2) — a’/2 = 0
-1/5 * b’ — 1/10 * a’ — a’/2 = 0
-2/10 * b’ — 1/10 * a’ — a’/2 = 0
-4/10 * b’ — 1/10 * a’ = a’/2
-4/10 * b’/a’ — 1/10 = 1/2
-4/10 * b’/a’ = 1/2 + 1/10
-4/10 * b’/a’ = 5/10 + 1/10
-4/10 * b’/a’ = 6/10
-4 * b’/a’ = 6
b’/a’ = -6/4
b’/a’ = -3/2
Теперь, зная соотношение b’/a’ и подставив его во второе уравнение системы, найдем a’ и b’:
a + 2*(-3/2)*a = b’
a — 3a = b’
-2a = b’
a = -1/2*b’
Теперь подставляем это выражение в первое уравнение:
2*(-1/2*b’) — b = a’
-a’ — b = a’
Таким образом, значение a’ равно -(a’ + b) и значение b’ равно -2a.
Теперь подставляем полученные значения в варианты ответов:
a = 0,4; b = -0,2: a’ = -0,4 — (-0,2) = -0,2 + 0,4 = 0,2; b’ = -2 * 0,4 = -0,8. НЕ СОВПАДАЕТ со значениями изначальной матрицы перехода.
a = -0,7; b = 0,1: a’ = -(-0,7) — 0,1 = 0,7 — 0,1 = 0,6; b’ = -2 * (-0,7) = 1,4. НЕ СОВПАДАЕТ со значениями изначальной матрицы перехода.
a = 0,5; b = 0,6: a’ = -(0,5 + 0,6) = -1,1; b’ = -2 * 0,5 = -1. НЕ СОВПАДАЕТ со значениями изначальной матрицы перехода.
a = 0,3; b = -0,6: a’ = -(0,3 + (-0,6)) = -0,3 + 0,6 = 0,3; b’ = -2 * 0,3 = -0,6. СОВПАДАЕТ со значениями изначальной матрицы перехода.
Таким образом, верный ответ: a = 0,3; b = -0,6.