С какой максимальной энергией могут обладать электроны в алюминии при абсолютном нуле, если у каждого атома алюминия в кристалле есть 3 свободных электрона, с учетом плотности алюминия? Тема: ферми-дираковская квантовая статистика.
Ответ:
При абсолютном нуле температура равна 0 К, что означает, что у электронов в алюминии отсутствуют тепловые колебания. Также, поскольку мы говорим о максимальной энергии, то предполагаем, что все доступные энергетические уровни заполнены.
В алюминии каждый атом имеет 3 свободных электрона. Плотность алюминия составляет около 2,7 г/см^3. Найдем объем одного атома алюминия.
Молярная масса алюминия составляет 26,98 г/моль. Так как плотность равна массе на единицу объема, то можно использовать следующую формулу:
плотность = масса / объем
Объем = масса / плотность = 26,98 г/моль / 2,7 г/см^3 = 9,99 см^3/моль.
Таким образом, объем одного атома алюминия равен 9,99 см^3/моль.
Теперь найдем энергию Ферми электронов в алюминии при абсолютном нуле. Энергия Ферми — это энергия последнего занятого электрона при абсолютном нуле.
Согласно принципу Ферми-Дирака, электроны заполняют энергетические уровни снизу вверх, по принципу запрета Паули (на один энергетический уровень может быть заполнен только один электрон).
Так как каждый атом алюминия имеет 3 свободных электрона, то максимальный заполняемый уровень будет иметь энергию, при которой три электрона будут находиться в нем. То есть, энергия Ферми будет равна энергии того уровня, на котором находятся три электрона.
Для определения энергии Ферми используется формула:
Энергия Ферми = (h^2 / (8 * масса электрона)) * (3 * кол-во электронов / (pi * объем))^(2/3)
где h — постоянная Планка (6,63 * 10^(-34) Дж*с), масса электрона равна 9,11 * 10^(-31) кг, кол-во электронов — общее количество свободных электронов в алюминии (3 на каждый атом) и объем — объем одного атома алюминия (полученный нами ранее).
Подставляя все значения в формулу, получим:
Энергия Ферми = (6,63 * 10^(-34) Дж*с)^2 / (8 * 9,11 * 10^(-31) кг) * (3 * 3 / (pi * 9,99 * 10^(-29) м^3 ))^(2/3)
Расчет этой формулы может быть сложен для школьника, поэтому давайте применим численные значения.
Энергия Ферми = (4,379 * 10^(-57) Дж^2 * с^2 / кг) * (27 / (3,14 * 9,99 * 10^-29))^(2/3) = 1,75 * 10^-19 Дж
Таким образом, максимальная энергия, которой могут обладать электроны в алюминии при абсолютном нуле, составляет приблизительно 1,75 * 10^-19 Дж.
Важно отметить, что энергия Ферми зависит от плотности алюминия. Если мы изменим плотность алюминия, например, изменим его состояние (например, испарим или сжимаем), то изменится и энергия Ферми.
Надеюсь, это решение было понятным для школьника. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задайте их!