а) Найдите приращение функции дельта y при движении от точки x0 до точки x0 + дельта x для функции y=-3x^2.
б) Найдите отношение приращения функции дельта y к приращению аргумента дельта x для функции y=-3x^2.
Ответ:
Приращение функции delta y равно разнице между значениями функции в начальной и конечной точках. То есть, мы должны подставить x0 + delta x и x0 в функцию y = -3x^2 и вычислить разницу.
Значение функции в начальной точке x0:
y0 = -3×0^2
Значение функции в конечной точке x0 + delta x:
y1 = -3(x0 + delta x)^2
Теперь вычислим разницу delta y:
delta y = y1 — y0
= (-3(x0 + delta x)^2) — (-3×0^2)
= -3(x0^2 + 2×0 * delta x + (delta x)^2) + 3×0^2
= -3×0^2 — 6×0 * delta x — 3(delta x)^2 + 3×0^2
= -6×0 * delta x — 3(delta x)^2
Значение delta y равно -6×0 * delta x — 3(delta x)^2.
б) Теперь нам нужно найти отношение приращения функции delta y к приращению аргумента delta x для функции y = -3x^2.
Отношение приращения функции delta y к приращению аргумента delta x (δy/δx) называется производной функции y по x. Для нашей функции y = -3x^2, мы можем использовать определение производной, которое гласит, что производная функции равна предельному значению отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента delta x к нулю.
Применяя это определение, мы можем найти производную функции y = -3x^2:
dy/dx = lim(δx → 0) (delta y / delta x)
Мы уже вычислили delta y в предыдущем пункте:
delta y = -6×0 * delta x — 3(delta x)^2
Теперь мы можем подставить это значение в формулу для производной:
dy/dx = lim(δx → 0) (-6×0 * delta x — 3(delta x)^2) / delta x
Теперь мы можем упростить это выражение. Разделим каждый член на delta x:
dy/dx = lim(δx → 0) (-6×0 — 3(delta x)) = -6×0 — 3 * lim(δx → 0) (delta x)
Мы видим, что приращение аргумента delta x стремится к нулю при предельном значении. Таким образом, мы можем записать последнее выражение следующим образом:
dy/dx = -6×0 — 3 * 0 = -6×0
Значение производной для функции y = -3x^2 равно -6x.
Итак, отношение приращения функции delta y к приращению аргумента delta x для функции y = -3x^2 равно -6x.