Какой объём имеет часть конуса, прилегающая к его основанию, если объём всего конуса равен 54, и через точку

Рассмотрим шаги решения задачи:

1. Для начала, найдем высоту конуса. Обозначим ее как h.
По условию, объем всего конуса равен 54. Формула для объема конуса: V = (1/3) * π * r^2 * h, где r — радиус основания конуса.
В данной задаче нам известно, что V = 54.
Также известно, что площадь основания конуса равна половине объема всего конуса, то есть S = (1/2) * V.
По формуле для площади основания S = π * r^2.
Подставив значения, получим: (1/2) * 54 = π * r^2
Упростим это уравнение: 27 = π * r^2

2. Теперь найдем высоту «отсеченной» части конуса. Обозначим ее как h’.
Из условия задачи известно, что отношение h’ к h равно 1:2.
То есть, h’ = (1/2) * h.

3. Найдем радиус конуса на высоте h’ (радиус «круга», который задает плоскость, параллельная основанию и разделяющая конус).
Обозначим его как r’.
Мы знаем, что отношение радиусов конуса на разных высотах равно отношению высот: r’ / r = h’ / h.
Подставим значения: r’ / r = (1/2) * h / h
r’ / r = 1/2
r’ = (1/2) * r

4. Выразим r через уравнение площади основания конуса: 27 = π * r^2.
r^2 = 27 / π
r = √(27 / π)

5. Подставим найденное значение r’ в уравнение полученное на шаге 3.
r’ = (1/2) * r
r’ = (1/2) * √(27 / π)

6. Теперь найдем объем части конуса, прилегающей к его основанию.
Обозначим его V’.
Формула для объема части конуса: V’ = (1/3) * π * r’^2 * h’
Подставим значения, получим: V’ = (1/3) * π * [(1/2) * √(27 / π)]^2 * [(1/2) * h]
Упростим это уравнение: V’ = (1/3) * π * (1/4) * (27 / π) * (1/2) * h
V’ = (1/3) * (1/4) * 27 * (1/2) * h
V’ = (1/24) * 27 * h
V’ = (27 / 24) * h

Итак, мы получили, что объем части конуса, прилегающей к его основанию, равен (27 / 24) * h.

Учитывая, что изначально объем всего конуса равен 54, можно записать:
54 = (1/3) * π * r^2 * h
Подставив значение r, получим:
54 = (1/3) * π * (√(27 / π))^2 * h
54 = (1/3) * π * (27 / π) * h
Упростим это уравнение:
54 = 9h
h = 6.

Теперь мы можем найти объем части конуса, прилегающей к его основанию:
V’ = (27 / 24) * h
V’ = (27 / 24) * 6
V’ = 27 / 4
V’ = 6.75.

Ответ: Объем части конуса, прилегающей к его основанию, равен 6.75.