Какова работа, которую нужно совершить, чтобы вывести ракету за пределы поля тяготения Земли, если она стартует с космического корабля на круговой орбите высотой 500 км над поверхностью Земли и имеет массу 200 кг? В учебнике ответ указан как а = 1 × 10^10 дж. Предоставьте решение с формулами и пояснениями, если возможно.
Ответ:
работа = сила * путь * cos(угол)
В данном случае, у нас нет заданного значения силы, поэтому воспользуемся известной формулой для рассчета силы тяготения на высоте над поверхностью Земли:
F = G * (m1 * m2) / r^2,
где F — сила, G — гравитационная постоянная (G = 6,67430 × 10^-11 м^3 * кг^-1 * с^-2), m1 и m2 — массы двух взаимодействующих тел (здесь Земли и ракеты), r — расстояние между телами (или радиус орбиты ракеты).
Так как ракета находится на круговой орбите, то радиус орбиты равен сумме радиуса Земли и высоты над поверхностью Земли:
r = R + h,
где R — радиус Земли (R = 6,371 км), h — высота над поверхностью Земли (h = 500 км = 0,5 м).
Тогда расстояние r будет:
r = 6,371 км + 0,5 м = 6,371 км + 0,0005 км = 6,3715 км.
Теперь можно рассчитать силу тяготения F:
F = (6,67430 × 10^-11 м^3 * кг^-1 * с^-2) * ((200 кг * 5,972 × 10^24 кг) / (6,3715 × 10^6 м)^2)
≈ 2,6672 × 10^4 Н.
Теперь нужно рассчитать работу:
работа = сила * путь * cos(угол).
Угол между силой тяготения и направлением движения ракеты можно считать равным 0 градусов, так как сила всегда направлена по направлению движения ракеты.
путь равен окружности, которую проходит ракета на орбите. Чтобы рассчитать путь, можно использовать формулу для длины окружности:
путь = 2 * π * r,
где π — число пи (примерно 3.14159).
Тогда путь будет:
путь = 2 * 3.14159 * 6,3715 км
≈ 40,0745 км.
Теперь можем рассчитать работу:
работа = (2,6672 × 10^4 Н) * (40,0745 км) * cos(0 градусов)
≈ 1,0671 × 10^6 Дж.
Таким образом, работа, которую нужно совершить, чтобы вывести ракету за пределы поля тяготения Земли, составляет около 1,0671 × 10^6 Дж или а = 1 × 10^6 Дж (данный ответ был округлен в учебнике).