Какова площадь треугольника KMN, если площадь треугольника ABC равна 1 и точки M и N являются серединами сторон AB и AC, а точка К лежит на стороне BC?
Ответ:
Пусть точка P — середина стороны BC. Тогда т.к. MN — серединный перпендикуляр к AB, то BM = MC, и т.к. KM — серединный перпендикуляр к AC, то AK = KC. Также, по свойству серединного перпендикуляра, MN || AC.
Поделим треугольник ABC на два треугольника: ABC и KAC. Заметим, что треугольник ABC и треугольник KMN подобны соответственно треугольнику KAC и треугольнику ABC. Это следует из того, что у них пары соответствующих углов равны, а также у них пары соответствующих сторон пропорциональны.
Из подобия треугольников ABC и KAC мы можем записать соответствующие пропорции сторон:
KM/AB = AK/AC = 1/2 (так как AK = KC)
Из этой пропорции мы можем выразить KM через AB и AC:
KM = (AB * 1) / 2 = AB / 2
Теперь мы можем выразить площадь треугольника KMN через площадь треугольника ABC:
S(KMN) = S(ABC) * (KM/AB)^2
Подставим значения и посчитаем:
S(KMN) = 1 * (AB / 2 / AB)^2 = 1 * (1/2)^2 = 1 * 1/4 = 1/4
Итак, площадь треугольника KMN равна 1/4.