Найти 95% доверительный интервал для доли телевизоров, удовлетворяющих стандарту, в партии из 8000 телевизоров, при отборе 800 телевизоров с повторением и без повторения.
Ответ:
1. Объем выборки (n) — количество телевизоров, отобранных из партии. В данном случае, у нас есть два варианта: отбор с повторением и без повторения.
2. Количество телевизоров, удовлетворяющих стандарту (x) — это количество телевизоров из нашей выборки, которые соответствуют требуемым стандартам.
После того, как мы определили эти параметры, мы можем использовать формулу для нахождения доверительного интервала для доли:
Для отбора с повторением:
— Найдите вероятность того, что телевизор, отобранный из первоначальной выборки, удовлетворяет стандарту, используя пропорцию изначальной партии:
p = x / N,
где N — это общее количество телевизоров в партии (8000 в данном случае).
— Найдите стандартную ошибку доли (SE):
SE = sqrt((p * (1 — p)) / n),
где sqrt — квадратный корень.
— Найдите значение Z-оценки для 95% доверительного уровня (Z):
Z = 1.96 (для 95% доверительного интервала)
— Найдите нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала (CI):
Lower bound (CI) = p — Z * SE,
Upper bound (CI) = p + Z * SE.
Для отбора без повторений:
— Найдите вероятность того, что первый телевизор, отобранный из первоначальной выборки, удовлетворяет стандарту:
p = x / N.
— Найдите стандартную ошибку доли (SE):
SE = sqrt((p * (1 — p)) * ((N — n) / (N — 1)) / n),
где sqrt — квадратный корень.
— Найдите значение Z-оценки для 95% доверительного уровня (Z):
Z = 1.96 (для 95% доверительного интервала)
— Найдите нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала (CI):
Lower bound (CI) = p — Z * SE,
Upper bound (CI) = p + Z * SE.
Теперь применим эти формулы к нашей задаче.
Для отбора с повторением:
— У нас есть 8000 телевизоров в партии, и мы отобрали 800.
— Предположим, что в нашей выборке есть 400 телевизоров, удовлетворяющих стандарту.
— Найдем пропорцию телевизоров, удовлетворяющих стандарту:
p = x / N = 400 / 8000 = 0.05.
— Найдем стандартную ошибку доли (SE):
SE = sqrt((p * (1 — p)) / n) = sqrt((0.05 * (1 — 0.05)) / 800) ≈ 0.0099.
— Найдем Z-оценку для 95% доверительного уровня (Z):
Z = 1.96 (для 95% доверительного интервала).
— Найдем нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала (CI):
Lower bound (CI) = p — Z * SE = 0.05 — 1.96 * 0.0099 ≈ 0.03,
Upper bound (CI) = p + Z * SE = 0.05 + 1.96 * 0.0099 ≈ 0.07.
Таким образом, 95% доверительный интервал для доли телевизоров, удовлетворяющих стандарту, в партии из 8000 телевизоров, при отборе 800 телевизоров с повторением, будет в диапазоне от 0.03 до 0.07.
Для отбора без повторений:
— У нас есть 8000 телевизоров в партии, и мы отобрали 800.
— Предположим, что в нашей выборке есть 400 телевизоров, удовлетворяющих стандарту.
— Найдем пропорцию телевизоров, удовлетворяющих стандарту:
p = x / N = 400 / 8000 = 0.05.
— Найдем стандартную ошибку доли (SE):
SE = sqrt((p * (1 — p)) * ((N — n) / (N — 1)) / n) = sqrt((0.05 * (1 — 0.05)) * ((8000 — 800) / (8000 — 1)) / 800) ≈ 0.0099.
— Найдем Z-оценку для 95% доверительного уровня (Z):
Z = 1.96 (для 95% доверительного интервала).
— Найдем нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала (CI):
Lower bound (CI) = p — Z * SE = 0.05 — 1.96 * 0.0099 ≈ 0.03,
Upper bound (CI) = p + Z * SE = 0.05 + 1.96 * 0.0099 ≈ 0.07.
Таким образом, 95% доверительный интервал для доли телевизоров, удовлетворяющих стандарту, в партии из 8000 телевизоров, при отборе 800 телевизоров без повторения, будет в диапазоне от 0.03 до 0.07.