А5. а) Если точки А и В делят окружность на две дуги таким образом, что их длины относятся как 5:6, то какова величина

А5. а) Если точки А и В делят окружность на две дуги таким образом, что их длины относятся как 5:6, то какова величина центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг? б) Если точки А и В делят окружность на две дуги таким образом, что длины этих дуг относятся как 11:30, то какова величина вписанного угла, опирающегося на меньшую из дуг?

Ответ:

а) Для решения задачи необходимо учесть, что длина дуги, измеренная в радианах, определяется отношением длины дуги к радиусу окружности. Если обозначить меньшую дугу через L1, а большую дугу — через L2, то выполняется следующее соотношение:

L1/L2 = 5/6

Так как центральный угол опирается на обе дуги, его величина равна разности угловых мер дуг:

∠AOB = L2 — L1

Выразим L1 через L2 из соотношения длин дуг:

L1 = (5/6)*L2

Подставляем выражение для L1 в формулу для величины центрального угла:

∠AOB = L2 — (5/6)*L2
= L2 — (5/6)*L2
= (6/6)*L2 — (5/6)*L2
= (1/6)*L2

Таким образом, величина центрального угла, опирающегося на меньшую дугу, равна 1/6 от угловой меры большей дуги.

б) Аналогично предыдущей задаче, длина дуги, измеренная в радианах, определяется отношением длины дуги к радиусу окружности. Обозначим меньшую дугу через L1, а большую дугу — через L2. Имеем следующее соотношение:

L1/L2 = 11/30

Величина вписанного угла, опирающегося на меньшую дугу, равна половине угловой меры меньшей дуги. Выразим L1 через L2 из соотношения длин дуг:

L1 = (11/30)*L2

Таким образом, величина вписанного угла, опирающегося на меньшую дугу, равна (1/2)*L1:

∠ACB = (1/2)*(11/30)*L2

Итак, величина вписанного угла, опирающегося на меньшую дугу, равна (11/60)*L2.