Каков радиус шара, если у равностороннего конуса (у которого осевое сечение является равносторонним треугольником) образующая равна 18?
Ответ:
Свойства равностороннего треугольника:
1. Все стороны равны между собой.
2. Все углы равны 60 градусам.
Свойства равностороннего конуса:
1. Осевое сечение равностороннего конуса является равносторонним треугольником.
2. Образующая конуса является высотой равностороннего треугольника.
Для начала, нам необходимо выразить радиус шара через образующую конуса.
Рассмотрим равносторонний треугольник. В нем каждая сторона равна радиусу шара (r), так как стороны равностороннего треугольника равны между собой. Пусть одна из сторон треугольника будет a.
Так как треугольник равносторонний, все углы равны 60°. Мы можем разделить треугольник на две равные прямоугольные треугольника, высота которых составляет 1/2 a, а одна из катетов h (высота равностороннего треугольника). С другой стороны, второй катет равен r (радиус шара). Тогда по теореме Пифагора можно записать следующее:
r^2 = h^2 + (1/2 a)^2,
r^2 = h^2 + a^2/4.
Теперь мы можем выразить радиус шара через образующую конуса (h).
Так как образующая конуса (h) равна 18, подставим это значение в уравнение выше:
r^2 = 18^2 + a^2/4,
r^2 = 324 + a^2/4.
Теперь нам нужно найти значение стороны треугольника (a).
Так как у нас равносторонний треугольник, мы знаем, что длина одной стороны равна 18 (образующая конуса). Подставим это значение в уравнение:
r^2 = 324 + 18^2/4,
r^2 = 324 + 324/4,
r^2 = 324 + 81,
r^2 = 405.
Чтобы найти радиус шара, возьмем квадратный корень из обоих сторон:
r = √405,
r ≈ 20.1.
Таким образом, радиус шара примерно равен 20.1.