Какова длина диаметра CD окружности с центром в точке О, если хорда AB равна 24 и перпендикулярна диаметру, а отрезки CH и HD таковы, что разность CH — HD равна 7?
Ответ:
У нас есть окружность с центром О, и хорда AB, которая является перпендикуляром к диаметру CD. Также, у нас есть отрезки CH и HD, и разность между ними равна 7.
Давайте представим себе ситуацию. Возьмем точку M на отрезке AB, которая является серединой хорды AB. Поскольку хорда AB перпендикулярна диаметру, то отрезок CM будет равен отрезку MD. Также, так как точка M является серединой хорды AB, отрезок AM будет равен отрезку BM. Поэтому отрезки AM, BM, CM и DM будут равны друг другу и будут равны половине длины хорды AB.
Теперь давайте рассмотрим отрезки CH и HD. Поскольку разность между ними равна 7, мы можем представить CH как CH = x + 7 и HD как HD = x, где x — это какая-то неизвестная величина.
Теперь мы можем приступить к решению задачи. Поскольку отрезки AM, BM, CM и DM равны друг другу, мы можем записать уравнение:
AM + MC = CH + HD
Так как AM и BM равны половине длины хорды AB, то AM = BM = 24/2 = 12.
Также, отрезок MC равен половине длины диаметра CD, так как он является радиусом окружности с центром O. Поэтому MC = CD/2.
А так как отрезки CH и HD равны x + 7 и x соответственно, мы можем записать уравнение:
12 + CD/2 = x + 7 + x
Теперь давайте решим это уравнение:
12 + CD/2 = 2x + 7
Вычтем 7 из обеих сторон:
5 + CD/2 = 2x
Умножим обе стороны на 2:
10 + CD = 4x
Из этого уравнения видно, что CD = 4x — 10.
Но у нас также есть еще одно условие, что разность между CH и HD равна 7. Подставим наше предположение для CH и HD в это условие:
CH — HD = (x + 7) — x = 7
Теперь решим это уравнение:
7 = 7
Как видим, это уравнение выполняется, поэтому наше предположение верно.
Теперь мы можем найти значение CD, подставив наше значение для x в выражение CD = 4x — 10:
CD = 4x — 10 = 4(7) — 10 = 28 — 10 = 18
Таким образом, длина диаметра CD окружности с центром в точке О равна 18.