Сколько задач решил Вася в последний день, если он увеличивает количество решенных задач каждый день на одну по сравнению с предыдущим днем, и известно, что он решил 5 задач в первый день, а все задачи были решены за 14 дней?
Ответ:
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается путем добавления к предыдущему числу постоянного разности. В данном случае, каждый день Вася увеличивает количество задач на 1 по сравнению с предыдущим днем, поэтому разность этой арифметической прогрессии равна 1.
Мы знаем, что Вася решил 5 задач в первый день, поэтому первый член арифметической прогрессии равен 5.
Также нам известно, что все задачи были решены за 14 дней, поэтому сумма арифметической прогрессии (количество задач) должна равняться 14.
Формула для суммы арифметической прогрессии S_n равна: S_n = (n/2)(a_1 + a_n), где n — количество членов прогрессии, a_1 — первый член прогрессии, a_n — последний член прогрессии.
Мы знаем, что первый член прогрессии a_1 = 5, и количество членов прогрессии n = 14.
Подставив эти значения в формулу для суммы прогрессии, мы получим: 14 = (14/2)(5 + a_n).
Раскроем скобки и упростим выражение: 14 = 7(5 + a_n).
Распишем умножение: 14 = 35 + 7a_n.
Вычтем 35 с обеих сторон уравнения: -21 = 7a_n.
Разделим обе части уравнения на 7: -3 = a_n.
Таким образом, получаем, что последний член арифметической прогрессии a_n равен -3.
Теперь мы знаем, что разность арифметической прогрессии равна 1, первый член равен 5, и последний член равен -3.
Так как каждый день Вася увеличивает количество задач на 1 по сравнению с предыдущим днем, он решает последнюю задачу на 1 больше, чем предыдущую. То есть, чтобы перейти от a_n к a_(n-1), мы должны отнять 1. Таким образом, a_(n-1) = -3 — 1 = -4.
Продолжая этот процесс, мы можем найти количество задач, решенных Васей в каждый из дней:
a_(n-2) = -4 — 1 = -5
a_(n-3) = -5 — 1 = -6
…
a_1 = 5 — 1 = 4
Таким образом, Вася решает 4 задачи в последний день.