1. Найдите значение f(-3) и корни функции для данной функции f(x) = 4x-1.
2. Постройте график функции y = (x — 3)^2 — 2 и определите интервалы возрастания и убывания функции.
3. Решите следующие уравнения: а) 3x^2 — x^3 = 0; б) x^4 — 7x^2 + 12 = 0.
4. Решите следующие неравенства: а) (x+2)(x-1)(x-4) > 0; б) x^2 — 14x + 24 ≤ 0.
Пожалуйста, распишите.
Ответ:
a) Для нахождения значения f(-3) подставим x = -3 в выражение функции:
f(-3) = 4(-3) — 1
f(-3) = -12 — 1
f(-3) = -13
Ответ: f(-3) = -13.
b) Чтобы найти корни функции, приравняем выражение функции к нулю и решим полученное уравнение:
4x — 1 = 0
4x = 1
x = 1/4
Ответ: Корень функции равен x = 1/4.
2. Постройте график функции y = (x — 3)^2 — 2 и определите интервалы возрастания и убывания функции.
a) Для построения графика функции начнем с нахождения вершины параболы. Для этого нужно найти x-координату вершины формулы (x — h)^2 + k, где (h, k) — координаты вершины. В данном случае h = 3.
h = 3
b) Затем найдем y-координату вершины, подставив найденное значение x в функцию:
y = (x — 3)^2 — 2
y = (3 — 3)^2 — 2
y = 0^2 — 2
y = -2
Таким образом, вершина параболы находится в точке (3, -2).
c) Теперь построим график, используя вершину параболы и дополнительные точки. Мы узнали, что вершина параболы находится в точке (3, -2), поэтому отметим эту точку на графике. Затем выберем несколько других точек, подставляя различные значения x и вычисляя соответствующие значения y.
При x = 0:
y = (0 — 3)^2 — 2
y = (-3)^2 — 2
y = 9 — 2
y = 7
При x = 1:
y = (1 — 3)^2 — 2
y = (-2)^2 — 2
y = 4 — 2
y = 2
При x = 4:
y = (4 — 3)^2 — 2
y = (1)^2 — 2
y = 1 — 2
y = -1
Теперь, используя полученные точки, проведем график функции. Вершина параболы находится в точке (3, -2), и график параболы открывается вверх.
Interval возрастания функции: (-бесконечность, 3)
Interval убывания функции: (3, +бесконечность)
3. Решите следующие уравнения:
a) 3x^2 — x^3 = 0
Условие уравнения говорит нам, что выражение равно 0. Получается:
3x^2 — x^3 = 0
x^2(3 — x) = 0
Отсюда следует, что x^2 = 0 или 3 — x = 0.
1) x^2 = 0
Единственное значение x, удовлетворяющее этому уравнению, равно 0.
2) 3 — x = 0
Решая это уравнение, получим x = 3.
Ответ: x = 0, 3.
б) x^4 — 7x^2 + 12 = 0
Решим это уравнение, подставляя переменную z вместо x^2:
z^2 — 7z + 12 = 0
(z — 3)(z — 4) = 0
Отсюда следует, что z — 3 = 0 или z — 4 = 0.
1) z — 3 = 0
Решая это уравнение, получим z = 3.
2) z — 4 = 0
Решая это уравнение, получим z = 4.
Теперь найдем значения x, используя найденные значения z:
1) z = x^2 = 3
x^2 = 3
x = ±√3
2) z = x^2 = 4
x^2 = 4
x = ±2
Ответ: x = ±√3, ±2.
4. Решите следующие неравенства:
а) (x+2)(x-1)(x-4) > 0
Для решения неравенства найдем значения x, которые делают левую часть неравенства положительной.
Отметим значения x, при которых каждый из множителей равен нулю:
x + 2 = 0 => x = -2
x — 1 = 0 => x = 1
x — 4 = 0 => x = 4
Построим отметки на числовой оси, разбивая ее на интервалы (-∞, -2), (-2, 1), (1, 4) и (4, +∞).
Выберем по одной точке внутри каждого интервала и проверим значение левой части неравенства для этой точки.
При выборе x = -3:
(-3+2)(-3-1)(-3-4) = (-1)(-4)(-7) = 28 > 0
При выборе x = 0:
(0+2)(0-1)(0-4) = (2)(-1)(-4) = 8 > 0
При выборе x = 2:
(2+2)(2-1)(2-4) = (4)(1)(-2) = -8 0
Теперь проверим знак неравенства на каждом интервале:
(-∞, -2) — левая часть неравенства положительна, так как имеется нечетное количество множителей. Знак неравенства >
(-2, 1) — левая часть неравенства отрицательна, так как имеется четное количество множителей. Знак неравенства
(4, +∞) — левая часть неравенства положительна, так как имеется нечетное количество множителей. Знак неравенства >
Ответ: (-∞, -2) ∪ (1, 4) ∪ (4, +∞)
б) x^2 — 14x + 24 ≤ 0
Чтобы решить это неравенство, найдем значения x, для которых левая часть неравенства меньше или равна нулю.
Для начала решим связанное уравнение:
x^2 — 14x + 24 = 0
Перенесем все в левую часть:
x^2 — 14x + 24 — 0 ≤ 0
После факторизации уравнения, получим:
(x — 2)(x — 12) ≤ 0
Найдем значения x, при которых левая часть неравенства равна нулю:
x — 2 = 0 => x = 2
x — 12 = 0 => x = 12
Построим отметки на числовой оси, разбивая ее на интервалы (-∞, 2), (2, 12) и (12, +∞).
Выберем по одной точке внутри каждого интервала и проверим значение левой части неравенства для этой точки.
При выборе x = 0:
(0 — 2)(0 — 12) = (-2)(-12) = 24 > 0
При выборе x = 5:
(5 — 2)(5 — 12) = (3)(-7) = -21 0
Теперь проверим знак неравенства на каждом интервале:
(-∞, 2) — левая часть неравенства положительна, так как имеется нечетное количество множителей. Знак неравенства ≤
(2, 12) — левая часть неравенства отрицательна, так как имеется четное количество множителей. Знак неравенства <
(12, +∞) — левая часть неравенства положительна, так как имеется нечетное количество множителей. Знак неравенства ≤
Ответ: (-∞, 2] ∪ [12, +∞)