Определите угол между векторами a и b, которые имеют равные модули, если модуль их суммы равен:
а) нулю;
б) двум а;
в) а.
Ответ:
При сложении векторов сумма векторов равна [a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3], где a1, a2, a3 — компоненты вектора a, а b1, b2, b3 — компоненты вектора b.
Получаем систему уравнений:
a1 + b1 = 0
a2 + b2 = 0
a3 + b3 = 0
Мы знаем, что модули векторов a и b равны, поэтому |a| = |b|, что равно корню из суммы квадратов компонент вектора.
Таким образом, уравнение для модуля вектора a можно записать как sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2) = sqrt(b1^2 + b2^2 + b3^2).
Теперь решим систему уравнений приравнивая их модули:
sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2) = sqrt(b1^2 + b2^2 + b3^2)
Возведем оба уравнения в квадрат:
a1^2 + a2^2 + a3^2 = b1^2 + b2^2 + b3^2
Так как модули равны, а1^2 + a2^2 + a3^2 = b1^2 + b2^2 + b3^2, можем записать следующее уравнение:
2 * (a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3) = 0
Для определения угла между векторами a и b используем формулу скалярного произведения векторов:
a * b = |a| * |b| * cos(theta)
Делаем замену, где a * b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3:
a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3 = |a| * |b| * cos(theta)
Подаставляем значения модулей равных:
2 * (a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3) = 0
a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3 = 0
Таким образом, угол между векторами a и b, если модуль их суммы равен нулю, равен 90 градусов или pi/2 радиан.
б) Если модуль суммы векторов a и b равен двум модулям a, то это означает, что |a + b| = 2 * |a|.
Используя ту же логику, скалярное произведение a и b будет равно:
a * b = |a| * |b| * cos(theta)
Проведем замену, где a * b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3:
a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3 = |a| * |b| * cos(theta)
Подставим значения модулей равными:
2 * (a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3) = 2 * |a|^2
a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3 = |a|^2
Очевидно, что a1^2 + a2^2 + a3^2 = |a|^2, можем записать следующее уравнение:
a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3 = a1^2 + a2^2 + a3^2
a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3 = |a|^2
Таким образом, угол между векторами a и b, если модуль их суммы равен двум модулям a, равен 60 градусов или pi/3 радиан.
в) Если модуль суммы векторов a и b равен модулю a, то это означает, что |a + b| = |a|.
Используя ту же логику, скалярное произведение a и b будет равно:
a * b = |a| * |b| * cos(theta)
Проведем замену, где a * b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3:
a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3 = |a| * |b| * cos(theta)
Подставим значения модулей равными:
2 * (a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3) = |a|^2
a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3 = |a|^2 / 2
Таким образом, угол между векторами a и b, если модуль их суммы равен модулю a, равен 120 градусов или 2pi/3 радиан.