Какова площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды PABCD, если сторона основания равна 32 и двугранный угол при ребре основания составляет arcsin √5/3?
Ответ:
Площадь боковой поверхности = Периметр основания * половина высоты боковой грани
1. Найдем периметр основания и высоту боковой грани.
У нас есть задана сторона основания равна 32. Четырехугольное основание пирамиды — равносторонний четырехугольник.
В равностороннем четырехугольнике все стороны и углы равны между собой.
Сначала найдем меру угла у основания пирамиды.
Двугранный угол при ребре основания равен arcsin (√5/3), это значит, что синус этого угла равен √5/3. Так как синус равен противолежащему катету деленному на гипотенузу, то √5/3 = противолежащий катет/гипотенузу. Обозначим противолежащий катет через х. Тогда получаем: √5/3 = x/1. Поэтому x = (√5/3)*1 = √5/3.
Так как у нас равносторонний четырехугольник, то сторона основания делится диагональю на две равные части.
Диагональ это гипотенуза, а сторона основания это другой катет. Зная значение основания, можем найти диагональ соотношением треугольника.
Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами равными стороне основания и противолежащий катет (x), и гипотенузой (диагональ):
32^2 + (√5/3)^2 = диагональ^2
1024 + 5/9 = диагональ^2
1024 * 9 + 5 = 9 * диагональ^2
9216 + 5 = 9 * диагональ^2
9216 + 5 = 9 * диагональ^2
9216/9 + 5/9 = диагональ^2
1024 + 5/9 = диагональ^2
1024 + 5/9 = диагональ^2
9 * (1024/9 + 5/9) = диагональ^2
9 * (1024 + 5)/9 = диагональ^2
(1024/9 + 5/9) * 9 = диагональ^2
4/9 * 9 = диагональ^2
4 = диагональ^2
√4 = √диагональ^2
2 = диагональ
Теперь мы знаем длину диагонали равнобокой трапеции. Чтобы найти периметр основания, нужно сложить длины всех сторон:
Периметр = 32 + 32 + 2 + 2 = 68
Таким образом, периметр основания равен 68.
2. Найдем высоту боковой грани.
Мы знаем, что двугранный угол при ребре основания равен arcsin (√5/3).
Для нахождения высоты боковой грани, мы можем использовать следующее тригонометрическое соотношение:
высота боковой грани = сторона основания * синус двугранного угла при ребре основания.
Высота боковой грани = 32 * (√5/3)
Высота боковой грани = (32 * √5) / 3
Теперь у нас есть все значения, которые нам нужны.
3. Вычислим площадь боковой поверхности пирамиды, используя формулу:
Площадь боковой поверхности = Периметр основания * половина высоты боковой грани
Площадь боковой поверхности = 68 * [(32 * √5) / 3] / 2
Площадь боковой поверхности = 34 * [(32 * √5) / 3]
Площадь боковой поверхности = (1088 * √5) / 3
Таким образом, площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна (1088 * √5) / 3.