Учитывая точки A (4; 0), B (12; -2) и C (5; -9), найдите для треугольника ABC следующее: 1) периметр; 2) длину медианы

1) Для нахождения периметра треугольника ABC нужно найти длины его сторон.

a) Длина стороны AB:
AB = √((x₂ — x₁)² + (y₂ — y₁)²)
AB = √((12 — 4)² + (-2 — 0)²)
AB = √(8² + (-2)²)
AB = √(64 + 4)
AB = √68
AB ≈ 8.246

b) Длина стороны BC:
BC = √((x₂ — x₁)² + (y₂ — y₁)²)
BC = √((5 — 12)² + (-9 — (-2))²)
BC = √((-7)² + (-7)²)
BC = √(49 + 49)
BC = √(98)
BC ≈ 9.899

c) Длина стороны CA:
CA = √((x₂ — x₁)² + (y₂ — y₁)²)
CA = √((5 — 4)² + (-9 — 0)²)
CA = √(1² + (-9)²)
CA = √(1 + 81)
CA = √82
CA ≈ 9.055

Теперь можно найти периметр треугольника ABC, который равен сумме длин его сторон:
Периметр ABC = AB + BC + CA
Периметр ABC ≈ 8.246 + 9.899 + 9.055
Периметр ABC ≈ 27.2

Ответ: Периметр треугольника ABC ≈ 27.2

2) Длина медианы AN

Медиана AN — это отрезок, соединяющий вершину A с серединой стороны BC.

Чтобы найти длину медианы AN, нужно найти координаты середины стороны BC и затем вычислить длину отрезка AN.

Координаты середины стороны BC:
x₁ = (x₂ + x₃) / 2
y₁ = (y₂ + y₃) / 2
где (x₂, y₂) — координаты вершины B (12; -2), (x₃, y₃) — координаты вершины C (5; -9)

x₁ = (12 + 5) / 2
x₁ = 17 / 2
x₁ = 8.5

y₁ = (-2 — 9) / 2
y₁ = -11 / 2
y₁ = -5.5

Теперь можем найти длину медианы AN, которая равна расстоянию между точками A и N:

AN = √((x₂ — x₁)² + (y₂ — y₁)²)
AN = √((8.5 — 4)² + (-5.5 — 0)²)
AN = √(4.5² + (-5.5)²)
AN = √(20.25 + 30.25)
AN = √(50.5)
AN ≈ 7.105

Ответ: Длина медианы AN ≈ 7.105

3) Координаты центра и радиус описанной окружности

Описанная окружность треугольника проходит через три его вершины A, B и C. Центр окружности будет находиться в точке пересечения перпендикуляров, проведенных посередине сторон треугольника.

Сначала найдем координаты середины сторон AB и AC.

Координаты середины стороны AB:
x₁ = (x₂ + x₁) / 2
y₁ = (y₂ + y₁) / 2
где (x₂, y₂) — координаты вершины B (12; -2), (x₁, y₁) — координаты вершины A (4; 0)

x₁ = (12 + 4) / 2
x₁ = 16 / 2
x₁ = 8

y₁ = (-2 + 0) / 2
y₁ = -2 / 2
y₁ = -1

Координаты середины стороны AC:
x₂ = (x₃ + x₁) / 2
y₂ = (y₃ + y₁) / 2
где (x₃, y₃) — координаты вершины C (5; -9), (x₁, y₁) — координаты вершины A (4; 0)

x₂ = (5 + 4) / 2
x₂ = 9 / 2
x₂ = 4.5

y₂ = (-9 + 0) / 2
y₂ = -9 / 2
y₂ = -4.5

Теперь можем найти уравнение прямой, проходящей через эти две точки, и найти координаты её середины — это и будет координаты центра описанной окружности.

Уравнение прямой:
y — y₁ = (y₂ — y₁) / (x₂ — x₁) * (x — x₁)

Найдем координаты центра окружности, подставив в полученное уравнение хотя бы одну из точек середин:

y — (-1) = (-4.5 — (-1)) / (4.5 — 8) * (x — 8)
y + 1 = (-4.5 + 1.5) / (-3.5) * (x — 8)
y + 1 = (-3) / (-3.5) * (x — 8)

Чтобы упростить вычисления, можно умножить всё выражение на (-3.5):

-3.5(y + 1) = -3(x — 8)
-3.5y — 3.5 = -3x + 24
3.5y = 3x + 27.5

Отсюда можно выразить y:

y = (3/3.5)x + 27.5/3.5
y = 3x/3.5 + 7.857

Таким образом, координаты центра описанной окружности равны (x, y) = (3/3.5, 7.857)

Радиус описанной окружности равен расстоянию от центра до любой из вершин треугольника. Возьмем, например, вершину A (4; 0).

Радиус = √((x — x₁)² + (y — y₁)²)
Радиус = √((3/3.5 — 4)² + (7.857 — 0)²)
Радиус = √((12/14 — 56/14)² + (7.857)²)
Радиус = √((-44/14)² + (61.411)²)
Радиус = √(1936/14² + 3760.731)

Ответ: Координаты центра описанной окружности: (3/3.5, 7.857)
Радиус описанной окружности ≈ √(1936/14² + 3760.731)