1. Найдите длину пересечения между сферой с радиусом 20см и плоскостью, проходящей на расстоянии 12см от центра

1. Длина пересечения между сферой с радиусом 20 см и плоскостью, проходящей на расстоянии 12 см от центра сферы:

Плоскость, проходящая на расстоянии 12 см от центра сферы, будет пересекать сферу в виде окружности. Чтобы найти длину этой окружности, нам нужно найти её радиус.

Для начала, нарисуем схему задачи. Представим сферу с радиусом 20 см в виде точки O в центре и плоскость, которая проходит на расстоянии 12 см от центра сферы. Пусть точка касания плоскости с сферой будет обозначена как A, а радиус сферы, проходящий через эту точку, будет обозначен как AO. Также, пусть точка, в которой плоскость пересекает горизонтальную плоскость, будет обозначена как B.

B
|
|
| O
| |
|___|A

Используя теорему Пифагора для треугольника AOB, можем найти длину радиуса AO:
AO^2 = AB^2 + BO^2

AB = 12 см, так как плоскость проходит на расстоянии 12 см от центра сферы.
BO = 20 см, так как это радиус сферы.

AO^2 = 12^2 + 20^2
AO^2 = 144 + 400
AO^2 = 544

Теперь найдем длину радиуса AO:
AO = sqrt(544)
AO ≈ 23.323 см

Радиус равен 23.323 см. Чтобы найти длину пересечения, нам нужно найти длину окружности с радиусом AO.

Длина окружности = 2π * AO
Длина окружности ≈ 2π * 23.323
Длина окружности ≈ 146.39 см

Таким образом, длина пересечения между сферой и плоскостью составляет приблизительно 146.39 см.

2. Площадь поверхности шара, если плоскость, касающаяся шара, проходит на расстоянии 6 см от центра шара:

Заметим, что плоскость, касающаяся шара, проходит через его центр. Это значит, что радиус шара будет равен расстоянию от центра шара до этой плоскости, то есть 6 см.

Площадь поверхности шара можно найти с помощью формулы:
Площадь = 4πr^2

где r — радиус шара.

Подставляя значение радиуса, получаем:
Площадь = 4π * (6^2)
Площадь = 4π * 36
Площадь = 144π

Таким образом, площадь поверхности шара составляет 144π квадратных сантиметра.

3. Площадь сечения шара этой плоскостью, если диаметр шара равен 10 и плоскость проведена через конец диаметра под углом 45 градусов к нему:

Для начала нарисуем схему задачи. Плоскость будет проходить через центр шара и иметь наклон под углом 45 градусов к диаметру шара.

|
|
|
|
|____

|

Так как плоскость проходит через центр шара, то будем рассматривать только верхнюю часть сечения шара.

Также заметим, что плоскость делит шар на две половины. Поэтому, чтобы найти площадь сечения шара, нам нужно найти площадь полусферы.

Площадь полусферы можно найти с помощью формулы:
Площадь = 2πr^2

где r — радиус шара.

Диаметр шара равен 10 см, так что его радиус будет половиной диаметра:
r = 10 / 2
r = 5 см

Подставляя значение радиуса в формулу, получаем:
Площадь = 2π * (5^2)
Площадь = 2π * 25
Площадь = 50π

Таким образом, площадь сечения шара этой плоскостью составляет 50π квадратных сантиметров.

4. Радиус сферы, описанной около куба, если длина ребра куба равна a:

Чтобы найти радиус сферы, описанной около куба, нам нужно найти диагональ куба, так как диагональ будет равна диаметру этой сферы. Зная длину диагонали, мы можем найти радиус сферы с помощью формулы:
Радиус = Диагональ / 2

Для начала, нарисуем схему задачи. Пусть каждая сторона куба равна a.

_______
| | /|
| | / |
|___|_/__|
| / |
| / |
|_/______|
_______

Используя теорему Пифагора для треугольника, состоящего из двух сторон куба и его диагонали, мы можем найти длину диагонали:
Диагональ^2 = a^2 + a^2 + a^2
Диагональ^2 = 3a^2

Теперь найдем длину диагонали:
Диагональ = sqrt(3a^2)
Диагональ ≈ √(3) * a

Таким образом, радиус сферы, описанной около куба, будет равен половине диагонали:
Радиус ≈ (1/2) * (√(3) * a)
Радиус ≈ √(3)/2 * a