а) Построить график функции f(x) = x^2 — 4x + 3.
б) Нужно проверить, проходит ли график функции через точку а(-2; 12)?
в) Какие промежутки функции являются возрастающими и убывающими?
Ответ:
Шаг 1: Найдите координаты вершины графика. Формула для нахождения координат вершины параболы -x₀ = -b/2a, где a, b и c — коэффициенты уравнения. В данном случае a = 1, b = -4, c = 3.
x₀ = -(-4)/(2*1) = 4/2 = 2.
Для нахождения y₀ подставим x₀ в уравнение f(x): y₀ = (2)^2 — 4(2) + 3 = 4 — 8 + 3 = -1.
Координаты вершины графика — (2, -1).
Шаг 2: Найдите точки пересечения графика с осями координат. Для этого решите уравнение f(x) = 0.
x^2 — 4x + 3 = 0.
Факторизуем это уравнение: (x — 1)(x — 3) = 0.
Значит, график пересекает ось x в точках x = 1 и x = 3.
Шаг 3: Проанализируйте знак коэффициента a, чтобы определить, в какую сторону открывается парабола:
Поскольку a = 1 (положительное число), парабола открывается вверх.
Шаг 4: Нанесите найденные точки на координатную плоскость и нарисуйте график, соединяющий их. Также нарисуйте параболу, открывающуюся вверх и проходящую через вершину (2, -1).
б) Чтобы проверить, проходит ли график функции через точку а(-2, 12), подставьте координаты точки в уравнение функции:
f(-2) = (-2)^2 — 4(-2) + 3 = 4 + 8 + 3 = 15.
Значение функции f(-2) равно 15, а не 12, следовательно, график функции не проходит через точку а(-2, 12).
в) Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, нужно рассмотреть знак производной функции.
Шаг 1: Найдите производную функции f'(x). Для этого возьмите производную каждого члена уравнения f(x).
f'(x) = 2x — 4.
Шаг 2: Решите неравенство f'(x) > 0 для определения промежутков возрастания функции.
2x — 4 > 0.
2x > 4.
x > 2.
Значит, функция возрастает на интервале (2, +∞).
Шаг 3: Решите неравенство f'(x) < 0 для определения промежутков убывания функции.
2x — 4 < 0.
2x < 4.
x < 2.
Значит, функция убывает на интервале (-∞, 2).
Таким образом, функция является возрастающей на интервале (2, +∞) и убывающей на интервале (-∞, 2).