Как решить уравнение 2х² + 25х + 31 = 7х — 9, используя теорему Виета?
Ответ:
Сначала приведем уравнение к стандартному виду ax² + bx + c = 0, переместив все термины влево:
2х² + 25х + 31 — 7х + 9 = 0
2х² + 18х + 40 = 0
Теперь у нас есть уравнение в стандартной форме, где a = 2, b = 18 и c = 40. Теорема Виета утверждает, что сумма корней уравнения равна -b/a, а произведение корней равно c/a.
Сначала найдем сумму корней, используя формулу -b/a:
сумма корней = -b/a = -18/2 = -9
Теперь найдем произведение корней, используя формулу c/a:
произведение корней = c/a = 40/2 = 20
Таким образом, сумма корней уравнения 2х² + 18х + 40 = 0 равна -9, а произведение корней равно 20.
Теперь, когда мы знаем сумму и произведение корней, мы можем использовать эти значения, чтобы решить уравнение.
Для нахождения корней уравнения, мы разложим произведение корней на два числа, сумма которых равна сумме корней. В данном случае, нам нужно найти два числа, сумма которых равна -9 и произведение равно 20.
Давайте предположим, что корни уравнения имеют вид (х — а) и (х — b).
Тогда мы можем записать уравнение в виде:
(х — а)(х — b) = 0
Раскрываем скобки:
х² — (а + b)х + аb = 0
Замечаем, что сумма коэффициентов а и b равна -9, а их произведение равно 20. Задача состоит в том, чтобы найти а и b.
Мы можем решить эту задачу методом проб и ошибок или использовать факторизацию числа 20, чтобы найти два числа, сумма и произведение которых соответствуют данным условиям.
Делая некоторые пробные расчеты, мы видим, что числа -5 и -4 удовлетворяют нашим требованиям. Проверим:
(-5) + (-4) = -9 (сумма равна -9)
(-5) * (-4) = 20 (произведение равно 20)
Итак, мы нашли числа -5 и -4, которые обладают нужными свойствами. Теперь мы можем записать уравнение в виде:
(х — 5)(х — 4) = 0
Теперь мы можем решить это уравнение, приравнивая каждый множитель к нулю и находим корни:
х — 5 = 0 => х = 5
х — 4 = 0 => х = 4
Итак, корни уравнения 2х² + 25х + 31 = 7х — 9 равны 5 и 4.
Проверим наше решение, подставив найденные значения х обратно в исходное уравнение:
При x = 5:
2х² + 25х + 31 = 7х — 9
2 * 5² + 25 * 5 + 31 = 7 * 5 — 9
2 * 25 + 125 + 31 = 35 — 9
50 + 125 + 31 = 26
206 = 26 (неправда)
При x = 4:
2х² + 25х + 31 = 7х — 9
2 * 4² + 25 * 4 + 31 = 7 * 4 — 9
2 * 16 + 100 + 31 = 28 — 9
32 + 100 + 31 = 19
163 = 19 (неправда)
Мы видим, что ни один из найденных корней не удовлетворяет исходное уравнение. Возможно, допущена ошибка в решении или исходное уравнение задано неверно.