Найдите меру угла XAO, если отрезок XY является диаметром окружности с центром в точке О и AX и AY являются равными хордами этой окружности.
Ответ:
В данной задаче отрезок XY является диаметром окружности с центром в точке О.
Свойства окружности:
1) Любой угол, образованный хордой и дугой окружности, равен половине центрального угла, опирающегося на эту хорду.
2) Любой треугольник, вписанный в окружность, заключает в себе два угла, которые являются половинами центральных углов, опирающихся на туже хорду.
Исходя из этих свойств, мы можем сделать следующие выводы:
1) Так как хорды AX и AY являются равными, то углы XOY и XOZ (где Z — точка противоположная по отношению к Y относительно О) — также равны.
2) Треугольник XOY является равнобедренным, так как стороны OX и OY равны (OX=OY). Поэтому углы OXY и OYX равны.
3) Угол OXY является половиной центрального угла XOZ, опирающегося на хорду XZ. А угол OYX является половиной центрального угла YOZ, опирающегося на хорду YZ. Так как хорда XY является диаметром, то Z — точка на противоположной стороне диаметра, и, следовательно, угол XOZ и угол YOZ равны 180 градусам (углы, опирающиеся на диаметр).
Теперь мы можем сделать окончательные выводы:
— Угол XAO равен углу OXY, так как они опираются на одну и ту же хорду и находятся по одну сторону от хорды.
— Угол OXY равен половине центрального угла XOZ, так как они опираются на одну и ту же хорду XY.
— Угол XOZ равен 180 градусам, так как он опирается на диаметр XY.
Следовательно, мера угла XAO равна половине от 180 градусов, то есть 90 градусов.