Какова напряженность электрического поля в точке, находящейся на оси тонкого кольца радиусом 10 см, в котором равномерно распределен заряд 20 нкл, на расстоянии 20 см от его центра?
Ответ:
E = k * (q / r^2)
где E — напряженность электрического поля в точке, k — постоянная Кулона (k ≈ 8.99 * 10^9 Н * м^2 / Кл^2), q — заряд, r — расстояние от заряда до точки измерения.
Так как кольцо имеет радиус r0 = 10 см = 0.1 м, и заряд равномерно распределен, то каждый элемент кольца имеет заряд dq = q / N, где N — количество элементов кольца. Каждый элемент кольца можно представить как точечный заряд, расположенный на окружности радиусом r0.
Мы можем заменить это кольцо множеством точечных зарядов и выразить напряженность электрического поля, происходящего от всех этих точечных зарядов:
Е = k * ∑ (dq / r^2)
где ∑ — сумма всех точечных зарядов.
Сумма всех точечных зарядов равна исходному заряду q. Используя формулу для длины окружности, можно выразить dq через r0 и dφ:
dq = q * dφ / (2πr0)
где dφ — малый угол, на который наклонен dφ-й элемент кольца.
Так как нас интересует только поле на оси кольца, мы можем выразить dφ через r, r0 и расстояние x от центра кольца до точки измерения на оси:
r = √(r0^2 + x^2)
dφ = r0 / r
Теперь мы можем выразить dq через r, r0 и x:
dq = q * (r0 / r) / (2πr0)
dq = q / (2πr)
Суммируя все значения для dq и заменяя их в формуле для E, получим:
E = k * ∑ (dq / r^2)
E = k * ∑ (q / (2πr) / r^2)
E = k * q / (2π) * ∑ (1 / r^3)
Так как расстояние r от каждого элемента кольца до точки измерения на оси одинаков, ∑ (1 / r^3) равно N / r^3, где N — количество элементов кольца. Тогда формула для E упрощается:
E = k * q / (2π) * N / r^3
Теперь мы можем выразить все известные значения и решить задачу:
k = 8.99 * 10^9 Н * м^2 / Кл^2 (постоянная Кулона)
q = 20 нкл = 20 * 10^(-9) Кл (заряд кольца)
N = ?
r0 = 10 см = 0.1 м (радиус кольца)
x = 20 см = 0.2 м (расстояние от центра кольца до точки измерения на оси)
r = √(r0^2 + x^2) (расстояние от элемента кольца до точки измерения на оси)
E = ?
Вычислим r:
r = √(0.1^2 + 0.2^2) = √(0.01 + 0.04) = √0.05 = 0.2236 м
Теперь вычислим E:
E = k * q / (2π) * N / r^3
Для расчета N, мы делим заряд кольца на заряд элемента кольца:
N = q / dq
N = q / (q / (2πr))
N = 2πr
Теперь можем вычислить E:
E = k * q / (2π) * N / r^3
E = 8.99 * 10^9 Н * м^2 / Кл^2 * (20 * 10^(-9) Кл) / (2π) * (2π * 0.2236 м) / (0.2236 м^3)
E = 8.99 * 10^9 * 20 * 10^(-9) / 0.2236^2 Н / Кл * м / м^2
E = 807,637,633.6 Н / Кл * м / м^2
Ответ: Напряженность электрического поля в точке, находящейся на оси тонкого кольца радиусом 10 см, в котором равномерно распределен заряд 20 нкл, на расстоянии 20 см от его центра, равна приблизительно 807,637,633.6 Н / Кл * м / м^2.